Question

已知函數(shù)令.

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；

（Ⅱ）若關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；

（Ⅲ）若，正實數(shù)滿足，證明：．

Answer 1

（Ⅰ）     

由得又所以．所以的單增區(qū)間為.                                                         

（Ⅱ）方法一：令

所以．

當時，因為，所以，所以在上是遞增函數(shù)，

又因為所以關于的不等式不能恒成立．                         

當時，．

令得，所以當時，；當時，．

因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)．

故函數(shù)的最大值為               …………8分

令因為

又因為在上是減函數(shù)，所以當時，．

所以整數(shù)的最小值為．                                  ……………10分

方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立．

問題等價于在上恒成立．

令，只要．                  ……………………6分

因為令得．

設，因為，所以在上單調遞減，

不妨設的根為．當時，當時，．

所以在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．

所以．       

因為

所以此時所以即整數(shù)的最小值為2 

（Ⅲ）當時，

由即

從而              

令則由得，

可知在區(qū)間（0，1）上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增。所以

所以即成立．