Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，下列結論中錯誤的是（　�。�

A．?xα∈R，f（xα）=0

B．函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對稱圖形

C．若xα是f（x）的極小值點，則f（x）在區(qū)間（-∞，xα）單調(diào)遞減

D．若xα是f（x）的極值點，則f′（xα）=0

Answer 1

f^′（x）=3x²+2ax+b．
（1）當△=4a²-12b＞0時，f^′（x）=0有兩解，不妨設為x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：
①x₂是函數(shù)f（x）的極小值點，但是f（x）在區(qū)間（-∞，x₂）不具有單調(diào)性，故C不正確．
②∵f(-

2a

3

-x)+f（x）=(-

2a

3

-x)3+a(-

2a

3

-x)2+b(-

2a

3

-x)+c+x³+ax²+bx+c=

4a3

9

-

2ab

3

+2c，
f(-

a

3

)=(-

a

3

)3+a(-

a

3

)2+b(-

a

3

)+c=

2a3

9

-

ab

3

+c，
∵f(-

2a

3

-x)+f（x）=2f(-

a

3

)，
∴點P(-

a

3

，f(-

a

3

))為對稱中心，故B正確．
③由表格可知x₁，x₂分別為極值點，則f′(x1)=f′(x2)=0，D正確．
④∵x→-∞時，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，函數(shù)f（x）必然穿過x軸，即?x_α∈R，f（x_α）=0，故A正確．
（2）當△≤0時，f′(x)=3(x+

a

3

)2≥0，故f（x）在R上單調(diào)遞增，①此時不存在極值點，故D正確，C不正確；
②B同（1）中②正確；
③∵x→-∞時，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，函數(shù)f（x）必然穿過x軸，即?x_α∈R，f（x_α）=0，故A正確．
綜上可知：錯誤的結論是C．
故選C．