Question

已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R)

(1)證明：直線l過定點(diǎn)；

(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；

(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．

 

Answer 1

（1）l過定點(diǎn)，(-2,1)；(2)k∈[0, )；（3）S的最小值為4，此時(shí)l方程為：x-2y+4=0.

【解析】

試題分析：（1）將直線l方程化為點(diǎn)斜式得：y-1=k(x+2),可知其恒過定點(diǎn)（-2，1）；(2) 畫草圖可知：由于直線l恒過定點(diǎn)（-2，1），所以直線l不經(jīng)過第四象限必須且只需即可；（3）直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，則知k>0,且可用k將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，從而就可將△AOB的面積為S表示成為k的函數(shù)，然后求此函數(shù)的最小值即可．

試題解析：（1）因?yàn)橹本�l:kx-y+1+2k=0(K∈R) y-1=k(x+2)，所以直線l過定點(diǎn)(-2,1)；

(2) 由于直線l恒過定點(diǎn)（-2，1），畫出圖形，知要使直線l不經(jīng)過第四象限必須且只需，故k∈[0, )；

（3）由直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B知：k>0,由直線l:kx-y+1+2k=0中，令則，再令，則，所以有：

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號），所以，S的最小值為4，此時(shí)l方程為：x-2y+4=0.

考點(diǎn)：1.直線方程;2.基本不等式.