在△ABC中,a、b、c分別表示A、B、C所對(duì)邊長,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判斷△ABC的形狀.

   

思路分析:本題主要考查應(yīng)用正、余弦定理判定三角形的形狀.題目條件中給出的關(guān)系式既有邊也有角,需利用正、余弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系或邊的關(guān)系,下面用兩種方法分別求解.

    解法一:∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),

∴(a2+b2)(sinAcosB-cosAsinB)

=(a2-b2)(sinAcosB+cosAsinB),

化簡,得a2cosAsinB=b2sinAcosB.

∵a=2RsinA,b=2RsinB,

∴sin2AcosAsinB=sinAsin2BcosB,

    即sinAcosA=sinBcosB,

    即sin2A=sin2B.

    從而2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.

∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.

    解法二:由條件化簡得a2cosAsinB=b2sinAcosB.

∵cosA=,cosB=,sinB=,sinA=,

    將其代入上式,得a2··b=b2··,

    即a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2).

    整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0.

∴a=b或a2+b2-c2=0.故△ABC為等腰三角形或直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)命題P：底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐；命題Q：在△ABC中A＞B是cos2（
A
2
+
π
4
）＜cos2（
B
2
+
π
4
）成立的必要非充分條件，則（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中a、b、c分別內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，已知向量
m
=（c，b），
n
=（sin2B，sinC），且
m
⊥
n
．
（l）求角B的度數(shù)；
（2）若△ABC的面積為
3
3
4
，求b的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•淮北二模）在△ABC中a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊的邊長．
（1）試敘述正弦或余弦定理并證明之；
（2）設(shè)a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥
13
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若△ABC的周長等于20，面積是10
3
，A=60°，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，b=2，a=1，cosC=
34

（1）求邊c 的值；
（2）求sin（2A+C）的值．

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