Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+ax+a

ex

．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=0處的切線l₀與x=1處的切線l₁相互平行，求實數(shù)a的值及此時函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若0＜a＜4，求證：exf（x）＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,證明題

分析：（I）先求導(dǎo)函數(shù)，然后函數(shù)f（x）在x=0處的切線l₀與x=1處的切線l₁相互平行，則f′（0）=f′（1），求出a的值，最后利用導(dǎo)數(shù)符號確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（II）原不等式等價于ex

x2+ax+a

ex

＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a），也等價于即

x

ex

＜

a+1

e

+axlnx，
設(shè)g（x）=

a+1

e

+axlnx，h（x）=

x

ex

，利用導(dǎo)數(shù)工具研究這兩個函數(shù)的單調(diào)性的最值，可知g（x）≥h（x）恒成立，又因為這兩個函數(shù)不在同一點取最值，從而得出原不等式成立．

解答： 解：（I）由函數(shù)f（x）在x=0處的切線l₀與x=1處的切線l₁相互平行，
知：f′（0）=f′（1），
而f′（x）=

-x(x+a-2)

ex

，∴

0×(0+a-2)

e0

=

-(1+a-2)

e1

，解得a=1，
此時f′（x）=

-x(x-1)

ex

，令f′（x）≥0，得0≤x≤1，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）；
（II）證明：原不等式等價于ex

x2+ax+a

ex

＜（a+1+aexlnx）（x²+ax+a）．
∵0＜a＜4，∴x²+ax+a＞0，原不等式等價于ex＜a+1+aexlnx，
即

x

ex

＜

a+1

e

+axlnx，
設(shè)g（x）=

a+1

e

+axlnx，h（x）=

x

ex

，
對于g（x），列表如下：

可知，g（x）≥g（

1

e

）=

1

e

；
對于h（x），列表如下：

可知，h（x）≤h（1）=

1

e

；
綜上所述，g（x）≥h（x）恒成立，又因為這兩個函數(shù)不在同一點取最值，
于是g（x）＞h（x）恒成立，
從而 原不等式成立．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、不等式的證明等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．