Question

15．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（1）f（x）=2x（e^x-1）-x²；
（2）f（x）=3x²-2lnx．

Answer 1

分析 （1）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0，得出原函數(shù)增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0，得出原函數(shù)的減區(qū)間；
（2）求得函數(shù)的定義域及導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，得出原函數(shù)增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0，得出原函數(shù)的減區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=2x（e^x-1）-x²，
f′（x）=2（xe^x+ex-x-1）；
令f′（x）=0，即xe^x+ex-x-1=0，
解得：x₁=-1，x₂=0，
令f′（x）＞0，解得：x＜-1或x＞0，
函數(shù)在（-∞，-1），（0，+∞）上單調(diào)遞增，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
函數(shù)在（-1，0）上單調(diào)遞減，
總上可知：f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，-1），（0，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間：（-1，0）；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=6x-$\frac{2}{x}$，
令f′（x）=0，解得：x₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
函數(shù)在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）上單調(diào)遞增，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
函數(shù)在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上單調(diào)遞減，
綜上可知：f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，-1），（0，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間：（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的解法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．