Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+alnx（ a為常數(shù)、a∈R），g(x)=f(x)-

2

3

x3．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當a=1時，判斷函數(shù)g（x）的零點的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且求出f（x）的定義域，分a大于等于0和a小于0兩種情況，分別令導(dǎo)函數(shù)大于0列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍即為函數(shù)的遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍即為函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）把a=1代入f（x）中確定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到g（x）中確定出g（x）的解析式，求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到g（x）的最小值，根據(jù)最小值小于0得到函數(shù)沒有零點即零點個數(shù)為0．

解答：解：（1）由f（x）=

1

2

x²+alnx，得f′（x）=x+

a

x

=

x2+a

x

，其中x＞0．
當a≥0時，f′（x）＞0對任意x∈（0，+∞）均成立，這是f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當a＜0時，由f′（x）＞0?x＞

-a

或x＜-

-a

（舍）
由f′（x）＜0?0＜x＜

-a

，
∴f（x）在區(qū)間（

-a

，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，

-a

）上單調(diào)遞減；

（2）a=1時，g（x）=f（x）-

2

3

x³=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，
g′（x）=x+

1

x

-2x²=

(1-x)(1+x+2x2)

x

，其中x＞0，
∴x∈（0，1）時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴[g（x）]_min=g（1）=-

1

6

＜0，
∴函數(shù)g（x）零點的個數(shù)為0．

點評：此題考查學(xué)生會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，掌握函數(shù)零點的判斷方法，是一道綜合題．