Question

如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求證：AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）求證：BD₁⊥平面ACB₁
（3）求三棱錐B-ACB₁體積．

Answer 1

分析：（1）由AC⊥BD，知AC⊥BB₁，由此能夠證明AC⊥平面B₁D₁DB．
（2）連接A₁B，A₁B⊥AB₁，D₁A₁⊥AB₁．由AB₁⊥A₁B，AB₁⊥D₁A₁，A1B和D₁A₁是面A₁BD₁內(nèi)的相交直線，所以AB₁⊥面A₁BD₁，又BD₁在面A₁BD上，AB₁⊥BD₁，同理，AC⊥BD₁．由此能夠證明BD₁⊥面ACB₁．
（3）三棱錐B-ACB₁，也就是ABC為底，BB₁為高的三棱錐．由此能求出三棱錐B-ACB₁體積．

解答：（1）證明：∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面B₁D₁DB．
（2）證明：連接A₁B，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
面A₁B₁BA是正方形，對(duì)角線A₁B⊥AB₁，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁A₁⊥面A₁B₁BA，AB₁在面A₁B₁BA上，
∴D₁A₁⊥AB₁，
∵AB₁⊥A₁B，AB₁⊥D₁A₁，
A1B和D₁A₁是面A₁BD₁內(nèi)的相交直線，
∴AB₁⊥面A₁BD₁，又BD₁在面A₁BD₁上，
∴AB₁⊥BD₁，同理，D₁D⊥面ABCD，
AC在面ABCD上，D₁D⊥AC，
在正方形ABCD中對(duì)角線AC⊥BD，
∵AC⊥D1D，AC⊥BD，D1D和BD是面BDD1內(nèi)的相交直線，
∴AC⊥面BDD₁，又BD₁在面BDD₁上，
∴AC⊥BD₁，
∵BD₁⊥AB₁，BD₁⊥AC，
AB₁和AC是面ACB₁內(nèi)的相交直線
∴BD₁⊥面ACB₁．
（3）解：三棱錐B-ACB₁，也就是ABC為底，BB₁為高的三棱錐，
三棱錐B-ACB₁體積
V=

1

2

×AB×AD×

1

3

BB₁=

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．