Question

已知函數(shù)（a為實常數(shù)，且a＞1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若當(dāng)x≥0時，f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）．
因為a＞1，所以2a＞2．
由f'（x）＞0，得x＜2，或x＞2a；由f'（x）＜0，得2＜x＜2a．
所以f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上是增函數(shù)；在[2，2a]上是減函數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x≥0時，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值．
∴，即，∴1＜a＜6．
故a的取值范圍是（1，6）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1＜a＜6．
令，設(shè)a₁，a₂∈（1，6），且a₁＜a₂則
=．
∵a₁，a₂∈（1，6），且a₁＜a₂，
∴a₁-a₂＜0，a₁a₂＞0，2a₁a₂-1＞0．
∴g（a₁）-g（a₂）＜0，即g（a₁）＜g（a₂）．
∴g（a）在（1，6）上是增函數(shù)．
又因，所以的取值范圍是．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x≥0時，f（x）＞0恒成立，即當(dāng)x≥0時，f（x）_min＞0恒成立，由此可求a的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1＜a＜6．作差，可知g（a）在（1，6）上是增函數(shù)，從而可求的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．