Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：{

an

n

}是公差為1的等差數(shù)列，且an+1=

n+2

n

an+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）求證：

1

a2

+

1

2a3

+…+

1

nan+1

＜2．

Answer 1

分析：（1）由于 {

an

n

}是公差為1的等差數(shù)列，可得

an+1

n+1

-

an

n

=1，又a_n+1=

n+2

n

an+1，化簡可求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）由a_n=n²，知

1

a2

+

1

2a3

+…+

1

nan+1

＜2等價于

1

2

+

1

3 2

+…+

1

(n+1) n

＜2，用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：（1）∵{

an

n

}是公差為1的等差數(shù)列，
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1，
∵a_n+1=

n+2

n

an+1，
∴a_n=n²；
（2）∵a_n=n²，
∴

1

nan+1

=

1

(n+1) n

，
用數(shù)學(xué)歸納法證明

1

a2

+

1

2a3

+…+

1

nan+1

＜2．
①n=1時，

1

a2

=

1

2

＜2，成立；
②假設(shè)n=k時，成立，即

1

2

+

1

3 2

+…+

1

(k+1) k

＜2，
當(dāng)n=k+1時，

1

2

+

1

3 2

+…+

1

(k+1) k

+

1

(k+2) k+1

＜2也成立．
由①②知，

1

a2

+

1

2a3

+…+

1

nan+1

＜2．

點評：本題考查數(shù)列和不等式的綜合，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運用．