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已知是二次函數，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）是否存在自然數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的集合；若不存在，說明理由.

 

【答案】

（I）

（II）存在惟一的自然數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不同的實數根.

【解析】(I)是二次函數，且的解集是可設

因為f(x)的對稱軸為,所以可確定在區(qū)間上的最大值是據此可得到關于a的方程，從而得到f(x)的解析式．

(II) 方程等價于方程設

然后再根據導數研究h(x)的單調性和極值，最值畫出其草圖從圖上分析解決即可．

（I）是二次函數，且的解集是

可設在區(qū)間上的最大值是

由已知，得（4分）

（II）方程等價于方程

設則

當時，是減函數；

當時，是增函數.（8分）

方程在區(qū)間內分別有惟一實數根，而在區(qū)間內沒有實數根.  （11分）

所以存在惟一的自然數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不同的實數根.（13分）

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知是二次函數，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。

    （I）求的解析式；

    （II）是否存在實數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。

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科目：高中數學 來源：2012屆寧夏銀川一中高三上學期第二次月考理科數學試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知是二次函數，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12.
（1）求的解析式；
（2）是否存在整數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實
數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年山東省煙臺市高三上學期期末考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知是二次函數，不等式的解集是，且在點處的切線與直線平行．

(1)求的解析式；

(2)是否存在t∈N*，使得方程在區(qū)間內有兩個不等的實數根？

若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年寧夏高三上學期第二次月考理科數學試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知是二次函數，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12.

（1）求的解析式；

（2）是否存在整數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實

 

數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

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科目：高中數學 來源：湖南省長沙市2010-2011學年高三年級月考（一）數學試題（理科） 題型：解答題

 

（本小題滿分13分）

       已知是二次函數，不等式的解集是（0，5），且在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12。

   （1）求的解析式；

   （2）是否存在自然數，使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。

 

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