Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，，為正三角形，且平面平面．

（Ⅰ）證明

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：取AD的中點(diǎn)O，連接PO，OC，

∵為正三角形，∴                            

又∵在四邊形ABCD中，

，∴BC∥AO,且BC=AO

∴四邊形ABCO為平行四邊形，∴                    

∴，∴                             

(Ⅱ)(法一)：由（Ⅰ）知，且平面平面∴平面，所以分別以OC，OA，OP為x軸，y軸，z軸建立如圖

所示的直角坐標(biāo)系，并設(shè)BC=1，則AB=AD=2，,

∴，，，，

∴，,,    

設(shè)平面APD，平面PDC的法向量分別為

則∴

∴分別取平面APD，平面PDC的一個法向量

∴

∴二面角的余弦值為                         

(法一)：由（Ⅰ）知，且平面平面∴平面，

過O點(diǎn)作,垂足為E,連接CE，則，于是為所求二面角的一個平面角，設(shè)BC=1，則AB=AD=2，,OD=1，OC=2，，,

∴∴二面角的余弦值為