Question

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sin(A－B)＝cosC．

（1）若a＝3，b＝，求c；

（2）求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式，將三角形內(nèi)角的三角函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，求出其中的一個角，然后利用余弦定理列方程，即可求的值.要注意角的范圍和三角函數(shù)的單調(diào)性.

（2）利用（1）的部分結(jié)論，可得，

＝＝＝,化成只含一個角的三角函數(shù)值，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出該式的范圍.

試題解析：（1）由sin(A－B)＝cosC，得sin(A－B)＝sin(－C)．

∵△ABC是銳角三角形，

∴A－B＝－C，即A－B＋C＝， ①

又A＋B＋C＝π， ②

由②－①，得B＝．

由余弦定理b2＝c2＋a2－2cacosB，得()2＝c2＋(3)2－2c×3cos，

即c2－6c＋8＝0，解得c＝2，或c＝4．

當(dāng)c＝2時，b2＋c2－a2＝()2＋22－(3)2＝－4＜0，

∴b2＋c2＜a2，此時A為鈍角，與已知矛盾，∴c≠2．

故c＝4． 6分

（2）由（1），知B＝，∴A＋C＝，即C＝－A．

∴＝＝＝sin(2A－)．

∵△ABC是銳角三角形，

∴＜A＜，∴－＜2A－＜，

∴－＜sin(2A－)＜，∴－1＜＜1．

故的取值范圍為(－1，1)． 12分

考點：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函數(shù)的性質(zhì).