精英家教網(wǎng)已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，A為上頂點(diǎn)，AF1交橢圓E于另一點(diǎn)B，且△ABF2的周長(zhǎng)為8，點(diǎn)F2到直線AB的距離為2．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求過(guò)D（1，0）作橢圓E的兩條互相垂直的弦，M、N分別為兩弦的中點(diǎn)，求證：直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．
分析：（I）AB+AF2+BF2=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=4a=8?a=2，再由點(diǎn)F2到直線AB的距離d=
|bc+bc|
b2+c2
=
2bc
a
=bc=2，可以求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：
x2
4
+
y2
2
=1．
（II）由題設(shè)條件可知M(
2
m2+2
，
-m
m2+2
)，同理N(
2m2
2m2+1
，
m
2m2+1
)，由此可推導(dǎo)出直線MN過(guò)定點(diǎn)(
2
3
，0)
解答：解：（I）AB+AF2+BF2=（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=4a=8，∴a=2
設(shè)c=
a2-b2
，因?yàn)锳（0，b），
∴直線AB的方程為
x
-c
+
y
b
=1，即bx-cy+bc=0，
∴點(diǎn)F2到直線AB的距離d=
|bc+bc|
b2+c2
=
2bc
a
=bc=2，b=
2
，c=
2
，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：
x2
4
+
y2
2
=1．
（II）設(shè)以M為中點(diǎn)的弦與橢圓交于（x1，y1），（x2，y2），則x1+x2=(my1-1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=
-2m2
m2+2
+2=
4
m2+2

∴M(
2
m2+2
，
-m
m2+2
)，同理N(
2m2
2m2+1
，
m
2m2+1
)，
∴KMN=
m
1+2m2
+
m
2+m2
2m2
1+2m2
-
2
2+m2
=
3m
2(m2-1)
，MN：y+
m
2+m2
=
3m
2(m2-1)
(x-
2
2+m2
)，
整理得y=
3m
2(m2-1)
(x-
2
3
)，
∴直線MN過(guò)定點(diǎn)(
2
3
，0)．
當(dāng)直線P1Q1的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，P1Q1、P2Q2的中點(diǎn)為點(diǎn)D及原點(diǎn)O，直線MN為x軸，
也過(guò)此定點(diǎn)，
∴直線MN過(guò)定點(diǎn)(
2
3
，0)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、分別事整合思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線G：x2-y2=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長(zhǎng)等于8
2
，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過(guò)點(diǎn)B2（0，b）作圓F1的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為M、N．
（1）若過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1（0，-b）時(shí)，求此橢圓的離心率；
（2）若直線MN的斜率為-1，且原點(diǎn)到直線MN的距離為4（
2
-1），求此時(shí)的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線x=t（t＞0）與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)交點(diǎn)為F1(-
3
，0)，而且過(guò)點(diǎn)H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時(shí)候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

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