Question

已知f（x）=-3x²+a（5-a）x+b
（1）當(dāng)不等式f（x）＞0的解集為（-1，3）時(shí)，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若對任意實(shí)數(shù)a，f（2）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)b為已知數(shù)，解關(guān)于a的不等式f（1）＜0．

Answer 1

分析：（1）由題意知，-1和3是方程-3x²+a（5-a）x+b=0 的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得

-1+3= a(5-a) 3 -1•3= b -3

，解之可得結(jié)果．
（2）若f（2）＜0恒成立，可根據(jù)二次不等式恒成立的條件，構(gòu)造關(guān)于b的不等式，解不等式可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）由b為已知數(shù)，可得關(guān)于a的二次不等式，分類討論后，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（1））∵不等式-3x²+a（5-a）x+b＞0的解集為（-1，3），
∴-1和3是方程-3x²+a（5-a）x+b=0 的兩個(gè)根，
∴

-1+3= a(5-a) 3 -1•3= b -3

解得：

a=2 b=9

，或

a=3 b=9

（2）若對任意實(shí)數(shù)a，f（2）＜0恒成立，
則-12+2a（5-a）+b＜0恒成立，
即-2a²+10a+b-12＜0恒成立，
則100+8（b-12）＜0
解得b＜-

1

2

（3）∵f（1）=-3+a（5-a）+b=-a²+5a+b-3，
∵f（1）＜0，
∴a²-5a+3-b＞0．
△=13+4b，
當(dāng)△＜0，即b＜-

13

4

時(shí)，f（1）＜0 的解集為R；
當(dāng)b≥-

13

4

時(shí)，a＜

5- 13+4b

2

，或a＞

5+ 13+4b

2

，
此時(shí)f（1）＜0的解集為{a|a＜

5- 13+4b

2

，或a＞

5+ 13+4b

2

}．

點(diǎn)評：本題考查一元二次不等式的解法，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．