Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若且，求證： .

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：(1)對函數(shù)求導(dǎo)，然后分類討論若時、時和時三種情況，分別給出單調(diào)性（2）法一：構(gòu)造，求導(dǎo)算出最值，構(gòu)造，利用二階導(dǎo)數(shù)，得，從而得證；法二：利用放縮法當(dāng)時，得，即，然后再證明；法三：對問題放縮由于，則只需證明，然后給出證明

解析：解法一：（1）函數(shù)的定義域為，

，

①若時，則， 在上單調(diào)遞減；

②若時，當(dāng)時， ；

當(dāng)時， ；

當(dāng)時， .

故在上， 單調(diào)遞減；在上， 單調(diào)遞増；

③若時，當(dāng)時， ；

當(dāng)時， ；當(dāng)時， .

故在上， 單調(diào)遞減；在上， 單調(diào)遞増.

（2）若且，

欲證，

只需證，

即證.

設(shè)函數(shù)，則.

當(dāng)時， .故函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以.

設(shè)函數(shù)，則.

設(shè)函數(shù)，則.

當(dāng)時， ，

故存在，使得，

從而函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時， ，當(dāng)時，

故存在，使得，

即當(dāng)時， ，當(dāng)時，

從而函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

因為，

故當(dāng)時，

所以，

即.

解法二：（1）同解法一.

（2）若且，

欲證，

只需證，

即證.

設(shè)函數(shù)，則.

當(dāng)時， .故函數(shù)在上單調(diào)遞增.

所以.

設(shè)函數(shù)，

因為，所以，所以，

又，所以，

所以，

即原不等式成立.

解法三：（1）同解法一.

（2）若且，

欲證，

只需證，

由于，則只需證明，

只需證明，令，

則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，

所以成立，

即原不等式成立.