Question

在正三棱錐A-BCD中，E、F分別為棱AB、CD的中點(diǎn)，設(shè)EF與AC所成角為α，EF與BD所成角為β，則α+β等于

π

2

．

Answer 1

分析：欲求α+β的大小，因?yàn)棣粒�β分別為異面直線EF與AC所成角，與異面直線EF與BD所成角，所以先找到兩個(gè)角的平面角，通過E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，只需取BC中點(diǎn)，借助中位線的性質(zhì)，就可分別得到AC，BD的平行線，找出角α，β，再根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)，把α，β放入直角三角形EFG中，求出α+β．

解答：解：取BC中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，
∵E，G分別為AB，BC中點(diǎn)，∴EG∥AC，∴∠FEG為EF與AC所成角，即∠FEG=α
∵F，G分別為CD，BC中點(diǎn)，∴FG∥BD，∴∠EFG為EF與BD所成角，即∠EFG=β
由∵三棱錐A-BCD為正三棱錐，∴AC⊥BD，∵EG∥AC，F(xiàn)G∥BD，∴EG⊥FG，
∴∠EGF=

π

2

，∴α+β=

π

2

故答案為

π

2

點(diǎn)評：本題主要考查了正三棱錐的性質(zhì)，以及正三棱錐中的異面直線所成角的求法，綜合考查了學(xué)生的空間想象力，推理能力，轉(zhuǎn)化能力．