Question

（湖南卷理17）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

  （Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.

Answer 1

解: 解法一（Ⅰ）如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，

△BCD是等邊三角形.因?yàn)?i>E是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD,又AB∥CD,

所以BE⊥AB.又因?yàn)?i>PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以

PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（Ⅱ）延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.

過點(diǎn)A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知

平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因?yàn)椤?i>BAF＝60°，

所以，AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG.

則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，

PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

解法二: 如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)

各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），

P（0，0，2）,

（Ⅰ）因?yàn)?sub>，

平面PAB的一個(gè)法向量是，

所以共線.從而BE⊥平面PAB.

又因?yàn)?sub>平面PBE，

故平面PBE⊥平面PAB.

   (Ⅱ)易知  

       設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，則由得

所以

      設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則由得

所以故可取

      于是，

      故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是