Question

已知角A，B為銳角，且滿(mǎn)足：sin²（A+B）=sin²A+sin²B．
（Ⅰ）求sinA+sinB的取值范圍；
（Ⅱ）以A，B為內(nèi)角構(gòu)造△ABC，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若c=2，求

a2+2b2

a2b2

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專(zhuān)題：解三角形

分析：（Ⅰ） 化簡(jiǎn)所給的等式可得cos（A+B）=0，可得 A+B=

π

2

，再根據(jù)sinA+sinB=

2

sin（A+

π

4

）．結(jié)合A+

π

3

∈（

π

3

，

3π

4

），sinA+sinB的取值范圍．
（Ⅱ）由于三角形ABC為直角三角形，C=

π

2

，可得a²+b²=4．化簡(jiǎn)

a2+2b2

a2b2

為

1

4

（3+

2b2

a2

+

a2

b2

），利用基本不等式求得 

a2+2b2

a2b2

的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵角A，B為銳角，且滿(mǎn)足：sin²（A+B）=sin²A+sin²B，
∴（sinAcosB+cosAsinB）²=sin²A+sin²B，即 2sinAcosBcosAsinB=2sin²A•sin²B，
化簡(jiǎn)可得cos（A+B）=0，∴A+B=

π

2

，∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）．
結(jié)合A+

π

3

∈（

π

3

，

3π

4

），可得sin（A+

π

4

）∈（

2

2

，1]，即sinA+sinB的取值范圍為（

2

2

，1]．
（Ⅱ）以A，B為內(nèi)角構(gòu)造△ABC，則三角形ABC為直角三角形，C=

π

2

．
由c=2，可得a²+b²=4．
由于

a2+2b2

a2b2

=

2

a2

+

1

b2

=

a2+b2

4

•（

2

a2

+

1

b2

）=

1

4

（3+

2b2

a2

+

a2

b2

）≥

1

4

（3+2

2

），
當(dāng)且僅當(dāng)

2b2

a2

=

a2

b2

，即 a²=

2

b²時(shí)，取等號(hào)，
故

a2+2b2

a2b2

的最小值為

1

4

（3+2

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．