Question

已知f(2x+1)=

8x+7

4x2+4x+2

，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：先利用配湊法求出函數(shù)的解析式，然后求出導(dǎo)函數(shù)，求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來(lái)確定極值，從而求出函數(shù)的值域．

解答：解：∵f(2x+1)=

8x+7

4x2+4x+2

，
∴f（2x+1）=

4(2x+1)+3

(2x+1)2+1

即f（x）=

4x+3

x2+1

令f'（x）=

-2(x+2)(2x-1)

(x2+1)2

=0
解得x=-2或

1

2

當(dāng)x∈（-∞，-2）時(shí)f'（x）=

-2(x+2)(2x-1)

(x2+1)2

＜0
當(dāng)x∈（-2，

1

2

）時(shí)f'（x）=

-2(x+2)(2x-1)

(x2+1)2

＞0
x∈（

1

2

，+∞）時(shí)f'（x）=

-2(x+2)(2x-1)

(x2+1)2

＜0
∴當(dāng)x=-2時(shí)函數(shù)取最小值-1，當(dāng)x=

1

2

時(shí)函數(shù)有最大值4．
故函數(shù)的值域?yàn)閇-1，4]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值域，關(guān)于函數(shù)的值域的求解最近幾年有所弱化，本題屬于基礎(chǔ)題．