直線y=x與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的焦點(diǎn),則橢圓C的離心率為( 。
分析:根據(jù)直線y=x與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的焦點(diǎn),可得(c,c)滿足橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1,從而可建立方程,由此可求橢圓C的離心率.
解答:解:由題意,∵直線y=x與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的焦點(diǎn)
∴(c,c)滿足橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
c2
a2
+
c2
b2
=1

∴a2c2+(a2-c2)c2=a2(a2-c2
∴e4-3e2+1=0
e2=
5
2

∵0<e<1
e=
5
-1
2

故選A
點(diǎn)評:本題重點(diǎn)考查橢圓的幾何性質(zhì),考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解題的關(guān)鍵是構(gòu)建離心率方程,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B,我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形,則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”,且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比.已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
以拋物線y2=4
3
x
的焦點(diǎn)為一個焦點(diǎn),且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為4.(1)若橢圓C2與橢圓C1相似,且相似比為2,求橢圓C2的方程.
(2)已知點(diǎn)P(m,n)(mn≠0)是橢圓C1上的任一點(diǎn),若點(diǎn)Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y
異于原點(diǎn)的交點(diǎn),證明點(diǎn)Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上.
(3)已知直線l:y=x+1,與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb,是否存在正方形ABCD,使得A,C在直線l上,B,D在曲線Cb上,若存在求出函數(shù)f(b)=SABCD的解析式及定義域,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2003•北京)如圖,已知橢圓的長軸A1A2與x軸平行,短軸B1B2在y軸上,中心M(0,r)(b>r>0
(Ⅰ)寫出橢圓方程并求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率;
(Ⅱ)設(shè)直線y=k1x與橢圓交于C(x1,y1),D(x2,y2)(y2>0),直線y=k2x與橢圓次于G(x3,y3),H(x4,y4)(y4>0).求證:
k1x1x2
x1+x2
=
k1x3x4
x3+x4

(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的在C,D,G,H,設(shè)CH交x軸于P點(diǎn),GD交x軸于Q點(diǎn),求證:|OP|=|OQ|
(證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(
15
,0),直線y=x與橢圓的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則橢圓方程為( 。
A、
x2
16
+y2=1
B、x2+
y2
16
=1
C、
x2
20
+
y2
5
=1
D、
x2
5
+
y2
20
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C的方程為x2-y2=4,橢圓E以雙曲線C的頂點(diǎn)為焦點(diǎn),且橢圓右頂點(diǎn)A到雙曲線C的漸近線距離為3.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若直線y=x與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)(M點(diǎn)在第一象限),P、Q是橢圓上不同于M的相異兩點(diǎn),并且∠PMQ的平分線垂直于x軸.試求直線PQ的斜率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線C的方程為x2-y2=4.橢圓E以雙曲線C的頂點(diǎn)為焦點(diǎn),且其右頂點(diǎn)A到雙曲線C的漸近線距離為.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若直線y=x與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)(M點(diǎn)在第一象限),P、Q是橢圓上不同于M的相異兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),并且滿足(+)·(-)=0.試求直線PQ的斜率.

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同步練習(xí)冊答案