Question

（2009•湖北模擬）已知函數(shù)f(x)=

x

-ln(1+x)．（1）求f（x）的定義域；（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)偶次根號內(nèi)數(shù)據(jù)大于等于0以及真數(shù)大于0即可得到結(jié)論；
（2）先求出其導(dǎo)函數(shù)，研究出其在定義域上的單調(diào)性即可求出f（x）的值域．

解答：解：（1）由題意，得

x≥0 1+x＞0

…（2分）
解不等式組，得x≥0，故f（x）的定義域為{x|x≥0}．…（4分）
（2）f′(x)=

1

2 x

-

1

1+x

…（6分）
=

1+x-2 x

2 x (1+x)

=

( x -1)2

2 x (1+x)

．…（7分）
顯然當(dāng)x=1時，f'（x）=0；當(dāng)x≠1時，f'（x）＞0．
故點x=1不是f（x）的極值點，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．…（10分）
又∵f（0）=0，
∴f（x）的值域為[0，+∞）．…（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)的定義域及其求法．求函數(shù)定義域一般會遇到下面幾種情況：（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當(dāng)函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實際意義（如長度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)四則運算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域為空集，則函數(shù)不存在．