Question

如圖，過(guò)半徑為2的圓M上兩點(diǎn)P、Q的切線相較于點(diǎn)T，自點(diǎn)P向平行于PQ的直徑AB的兩端各作一直線，這兩條直線分別交垂直于PQ的直徑所在直線于點(diǎn)R，S．試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系用解析法證明：RT=ST．

Answer 1

分析：建立平面直角坐標(biāo)系，寫出圓的方程，設(shè)P坐標(biāo)表示AP、BP的方程，求出R、S的橫坐標(biāo)，利用切線方程求出T的橫坐標(biāo)，分別求RT、ST即可．

解答：證明：如圖，以圓心M為原點(diǎn)，平行于PQ的直徑AB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系
則可得圓的方程x²+y²=4，A（0，2）、B（0，-2），
設(shè)P（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4．
直線AP的方程為：y=

y0-2

x0

x+2，令y=0得xR=

2x0

2-y0

，
直線BP的方程為：y=

y0+2

x0

x-2，令y=0得xS=

2x0

2+y0

，

∵切線PT方程為x₀x+y₀y=4，由對(duì)稱性知點(diǎn)T在x軸上，
故令y=0得xT=

4

x0

∴RT=|x_R-x_T|=| 

2x0

2-y0

-

4

x0

|=|

y0(2-y0)

(2-y0)x0

| = |

y0

x0

|．
ST=|x_s-x_T|=|

2x0

2+y0

-

4

x0

|=|

y0(2+y0)

(2+y0)x0

| = |

y0

x0

|，
∴RT=ST．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，解析法解決平面幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于建系，設(shè)點(diǎn)、表示距離，是中檔題．