Question

直線AB過拋物線x²=2py(p＞0)的焦點F，并與其相交于A、B兩點，Q是線段AB的中點，M是拋物線的準線與y軸的交點，O是坐標原點．

(1)求的取值范圍；

(2)過A、B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點，求證=0, .

Answer 1

(1)由條件M(0，)，F(xiàn)(0，)，設直線AB的方程為y=kx+，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)則=2py₁，=2py₂，Q（）.

由消去y并整理得x²-2pkx-p²=0．

根據韋達定理得x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²．

進而有y₁y₂=，

y₁+y₂=k(x₁+x₂)+p=2pk²+p.

∴=(x₁，y₁+)·(x₂，y₂+)

=x₁x₂+y₁y₂+(y₁+y₂)+

=-p²++(2pk²+p)+

=p²k²≥0.

的取值范圍 [0，+∞）．

(2)拋物線的方程可化為y=x²，求導得y′=x

從而k_NA= =，k_NB==．

∴切線NA的方程為y-(x-x₁)，即y=，

切線NB的方程為y-（x-x₂），即y=.

由解得

∴N(),

而x₁+x₂=2pk,x₁x₂=-p²,

∴N(pk,).

而M（0，），Q（）即（pk,pk²+），

∴=(pk,0) =(0,pk²+p),

又=(0, ),∴·=0，.