Question

已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=

2

a

，∠BAC=120°，若

AO

=x

AB

+y

AC

，則x+y的最小值是

2

．

Answer 1

分析：建立直角坐標(biāo)系，求出三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镺為△ABC的外心，把AB的中垂線(xiàn) m方程和AC的中垂線(xiàn) n的方程，聯(lián)立方程組，求出O的坐標(biāo)，利用已知向量間的關(guān)系，待定系數(shù)法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線(xiàn)為x軸，建立直角系：
則A（0，0），B （2a，0），C（-

1

a

，

3

a

），
∵O為△ABC的外心，
∴O在A(yíng)B的中垂線(xiàn) m：x=a上，又在A(yíng)C的中垂線(xiàn) n 上，
AC的中點(diǎn)（-

1

2a

，

3

2a

），AC的斜率為tan120°=-

3

，
∴中垂線(xiàn)n的方程為 y-

3

2a

=

3

3

（x+

1

2a

）．
把直線(xiàn) m和n 的方程聯(lián)立方程組

x=a y- 3 2a = 3 3 (x+ 1 2a )

，
解得△ABC的外心O（a，

3

3

a+

2 3

3a

），
由條件

AO

=x

AB

+y

AC

，得（a，

3

3

a+

2 3

3a

）
=x（2a，0）+y（-

1

a

，

3

a

）=（2ax-

y

a

，

3 y

a

），
∴

a=2ax- y a 3 a 3 + 2 3 3a = 3 y a

，解得x=

2

3

+

1

3a2

，y=

a2

3

+

2

3

，
∴x+y=

2

3

+

1

3a2

+

a2

3

+

2

3

=

4

3

+

1

3

（

1

a2

+a2）≥

4

3

+

1

3

×2=2．
當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，三角形外心的性質(zhì)，向量的坐標(biāo)表示及向量相等的條件，待定系數(shù)法求參數(shù)值．屬中檔題．