Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB與AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長。

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形， 所以AC⊥BD， 又因?yàn)镻A⊥平面ABCD， 所以PA⊥BD， 所以BD⊥平面PAC。

（Ⅱ）解：設(shè)AC∩BD=O， 因?yàn)椤螧AD=60°，PA=PB=2， 所以BO=1，AO=CO=， 如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz， 則 P（0，，2），A（0，，0），B（1，0，0）， C（0，，0）， 所以， 設(shè)PB與AC所成角為θ， 則； （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知， 設(shè)P（0，，t）（t＞0）， 則， 設(shè)平面PBC的法向量m=（x，y，z）， 則， 所以， 令， 則， 所以， 同理，平面PDC的法向量， 因?yàn)槠矫鍼CB⊥平面PDC， 所以=0， 即， 解得t=， 所以PA=。