Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，AA₁=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB₁，CC₁上，且C₁F=

1

3

C₁C，BE=λBB₁，0＜λ＜1．
（1）當(dāng)λ=

1

3

時(shí)，求異面直線AE與A₁F所成角的大小；
（2）當(dāng)直線AA₁與平面AEF所成角的正弦值為

2 29

29

時(shí)，求λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
（1）推出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量

AE

和

A1F

對(duì)應(yīng)的向量，利用向量的數(shù)量積求出夾角即可．
（2）求出平面AEF的法向量，

AA1

=(0，0，3)，利用向量的數(shù)量積求解直線AA₁與平面AEF所成角的正弦值為

2 29

29

，得到λ=

1

2

．

解答： 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
（1）因?yàn)锳B=AC=1，AA₁=3，λ=

1

3

，
所以各點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，0，0），E（1，0，1），A₁（0，0，3），
F（0，1，2）．

AE

=(1，0，1)，

A1F

=(0，1，-1)．                                …（2分）
因?yàn)?span id="v7sb7ma" class="MathJye">|

AE

|=|

A1F

|=

2

，

AE

•

A1F

=-1，
所以cos?

AE

，

A1F

＞=

AE • A1F

| AE || A1F |

=

-1

2 × 2

=-

1

2

．所以向量

AE

和

A1F

所成的角為120°，
所以異面直線AE與A₁F所成角為60°．                       …（4分）
（2）因?yàn)镋（1，0，3λ），F(xiàn)（0，1，2），所以

AE

=(1，0，3λ)，

AF

=(0，1，2)．
設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，z），
則

n

•

AE

=0，且

n

•

AF

=0．
即x+3λz=0，且y+2z=0．令z=1，則x=-3λ，y=-2．
所以

n

=（-3λ，-2，1）是平面AEF的一個(gè)法向量． …（6分）
又

AA1

=(0，0，3)，則cos＜

n

，

AA1

＞=

n • AA1

| n || AA1 |

=

3

3 9λ2+5

=

1

9λ2+5

，
又因?yàn)橹本�AA₁與平面AEF所成角的正弦值為

2 29

29

，
所以

1

9λ2+5

=

2 29

29

，解得，λ=

1

2

．        …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角，異面直線所成角的求法，考查計(jì)算能力．