Question

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)垂直于軸的直線和拋物線交于兩點(diǎn)B，C，經(jīng)過(guò)拋物線上一點(diǎn)P垂直于軸的直線和軸交于點(diǎn)Q，求證：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中項(xiàng)．

Answer 1

分析：設(shè)設(shè)拋物線為y²=2px（p＞0），可求得|BC|=2p，設(shè)P（2pt²，2pt），則Q（2pt²，0），可求得|PQ|與|OQ|，從而可證得|BC|×|OQ|=|PQ|²．

解答：證明：設(shè)拋物線為y²=2px（p＞0）．則焦點(diǎn)F（

p

2

，0），
依題意，B，C的坐標(biāo)可由

x= p 2 y2=2px(p＞0)

得：y²=p²，y=p或-p，
∴B（

p

2

，p），C（

p

2

，-p），|BC|=p-（-p）=2p；
設(shè)P（2pt²，2pt），則Q（2pt²，0），
∴|PQ|=|2pt|，|OQ|=2pt²
|BC|×|OQ|=2p×2pt²=4p²t²=（2pt）²=|PQ|²，
∴|PQ|是|BC|和|OQ|的等比中項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查等比關(guān)系的確定，求得|BC|、|PQ|、|OQ|的值是關(guān)鍵，考查分析與推理證明的能力，屬于中檔題．