若x2+y2=2，設(shè)z=
1
x2
+
2y
x
，則z的最小值為
 
．
考點：平均值不等式
專題：不等式的解法及應用
分析：設(shè)x=
2
cosθ，y=
2
sinθ，則z=
1
x2
+
2y
x
=
1
2cos2θ
+
2
2
sinθ
2
cosθ
，化簡為
1
2
（tanθ+2）2-
3
2
，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)z的最小值．
解答： 解：∵x2+y2=2，
∴設(shè)x=
2
cosθ，y=
2
sinθ，
z=
1
x2
+
2y
x
=
1
2cos2θ
+
2
2
sinθ
2
cosθ
=
1+4sinθcosθ
2cos2θ
=
sin2θ+cos2θ+4sinθcosθ
2cos2θ

=
1
2
tan2θ+2tanθ+
1
2
=
1
2
（tanθ+2）2-
3
2
，
故當tanθ=-2時，函數(shù)z取得最小值為-
3
2
，
故答案為：-
3
2
．
點評：本題主要考查三角代換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）+2f（
1
x
）=2x-1對于任意x∈R且x≠0都成立，求函數(shù)f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos2x+sinx-1，（x∈R）．
（Ⅰ）求f（
7π
6
）的值；
（Ⅱ）當x∈[-
π
6
，
2π
3
]時，求f（x）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

我校為了了解學生的早餐費用情況，抽樣調(diào)查了100名學生的早餐平均費用（單位：元），得如圖所示的頻率分布直方圖，圖中標注數(shù)字a模糊不清．

（1）試根據(jù)頻率分布直方圖求a的值，并求我校學生早餐平均費用的眾數(shù)；
（2）已知我校有1000名學生，試估計我校有多少學生早餐平均費用不多于6元？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)f（x）=a2x2-2a2x+1在[-1，2]的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

涼山州民族中學高一、高二、高三的學生人數(shù)之比為4：4：5，現(xiàn)用分層抽樣法從該校的高中三個年級的學生中抽取容量為65的樣本，則應從高一年級抽取的學生人數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

實數(shù)x，y滿足
x-y≤0
x+y-m≤0
x≥0
，若z=2x+y的最大值為6，則m=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在等比數(shù)列{an}中，若a1=1，a4=
1
8
，則該數(shù)列的第2項為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知變量x，y滿足約束條件
x+2y≥2
2x+y≤4
4x-y≥-1
，則目標函數(shù)z=3x-y+3的取值范圍是
 
．

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