Question

（2007•惠州模擬）用S_m→n表示數(shù)列{a_n}從第m項(xiàng)到第n項(xiàng)（共n-m+1項(xiàng)）之和．
（1）在遞增數(shù)列{a_n}中，a_n與a_n+1是關(guān)于x的方程x²-4nx+4n²-1=0（n為正整數(shù)）的兩個(gè)根．求{a_n}的通項(xiàng)公式并證明{a_n}是等差數(shù)列；
（2）對(duì)（1）中的數(shù)列{a_n}，判斷數(shù)列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k的類型，并證明你的判斷．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0可求得方程的兩根x₁=2n-1，x₂=2n+1，利用{a_n}是遞增數(shù)列，即可知a_n=2n-1，a_n+1=2n+1，從而可證得{a_n}是等差數(shù)列；
（2）依題意，可求得S_3k-2→3k與S_{3（k+1）-2→3（k+1）}，利用等差數(shù)列的定義即可判斷數(shù)列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k為等差數(shù)列．

解答：解：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0得x₁=2n-1，x₂=2n+1…（2分）
∵{a_n}是遞增數(shù)列，
∴a_n=2n-1，a_n+1=2n+1，a_n+1-a_n=2…（4分）
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是a_n=2n-1（n為正整數(shù)）…（6分）
（2）當(dāng)k為正整數(shù)時(shí)，S_3k-2→3k=a_3k-2+a_3k-1+a_3k=18k-9…（8分）
S_{3（k+1）-2→3（k+1）}=18（k+1）-9=18k+9，…（10分）
∴S_{3（k+1）-2→3（k+1）}-S_3k-2→3k=18（常數(shù)）   …（12分）
∴數(shù)列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k是等差數(shù)列．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，突出考查等差數(shù)列的判定與分析，考查推理證明能力，屬于中檔題．