Question

已知f(x)=2cos

x

2

(sin

x

2

+cos

x

2

)
（1）求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a在x∈[0，2π]上有且僅有一個(gè)根，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由三角函數(shù)恒等攣，把f(x)=2cos

x

2

(sin

x

2

+cos

x

2

)等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x）=

2

sin(x+

π

4

)+1，由此能求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）由f（x）在[0，2π]上的圖象分析知，能求出a的值．

解答：（本小題12分）
解：（1）f(x)=2cos

x

2

(sin

x

2

+cos

x

2

)
=2cos

x

2

sin

x

2

+2cos²

x

2

=sinx+cosx+1=

2

sin(x+

π

4

)+1，…（2分）
令2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈∈Z，
得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z．…（6分）
（2）∵f（x）=

2

sin(x+

π

4

)+1，
關(guān)于x的方程f（x）=a在x∈[0，2π]上有且僅有一個(gè)根，
∴由f（x）在[0，2π]上的圖象分析知
當(dāng)x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

4

時(shí)，a=

2

+1，…（9分）
或當(dāng)x+

π

4

=

3π

2

，即x=

5π

4

時(shí)，a=1-

2

．
綜上a=1±

2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．