Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其長軸長是短軸長的兩倍，以某短軸頂點和長軸頂點為端點的線段作為直徑的圓的周長為

5

π．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l與橢圓相交于A，B兩點，設(shè)直線OA，l，OB的斜率分別為k₁，k，k₂（其中k＞0）．△OAB的面積為S，以O(shè)A，OB為直徑的圓的面積分別為S₁，S₂，若k₁，k，k₂恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求

S1+S2

S

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意知a=2b，且

a2+b2

=

5

，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此利用韋達(dá)定理、橢圓弦長公式結(jié)合已知條件能求出

S1+S2

S

的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意知a=2b，且

a2+b2

=

5

，
解得a=2，b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
由韋達(dá)定理有：

x1+y1=- 8km 1+4k2 x1x2= 4(m2-1) 1+4k2

，且△=16（1+4k²-m²）＞0，…（6分）
∵k₁，k，k₂構(gòu)成等比數(shù)列，∴k²=k₁k₂=

(kx1+m)(kx2+m)

x1x2

，
即：km（x₁+x₂）+m²=0，
由韋達(dá)定理代入化簡得：k2=

1

4

．∵k＞0，∴k=

1

2

，…（8分）
此時△=16（2-m²）＞0，即m∈（-

2

，

2

）．
故S=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|•

|m|

1+k2

=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

•|m|
=

2-m2

•|m|．…（10分）
又S₁+S₂=

π

4

(x12+y12+x22+y22)
=

π

4

(

3

4

x12+

3

4

x22+2)
=

3π

16

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+

π

2

=

5π

4

為定值．
∴

S1+S2

S

=

5π

4

•

1

2-m2 •|m|

≥

5π

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)m=1∈（-

2

，

2

）時等號成立．
綜上：

S1+S2

S

∈[

5π

4

，+∞）．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩圓面積和與三角形面積的比值的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意弦長公式的合理運用．