Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1﹣x）+log_a（x+3），其中0＜a＜1，記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈．

（1）求函數(shù)f（x）的定義域D；

（2）若函數(shù)f（x）的最小值為﹣4，求a的值；

（3）若對(duì)于D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，不等式﹣x²+2mx﹣m²+2m＜1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：

函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域．

專題：

函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．

分析：

（1）根據(jù)使函數(shù)的解析式有意義的原則，構(gòu)造關(guān)于自變量x的不等式組，解得函數(shù)f（x）的定義域D；

（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，并根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可分析出函數(shù)f（x）的最小值為﹣4時(shí)，a的值

（3）若不等式﹣x²+2mx﹣m²+2m＜1恒成立，即﹣x²+2mx﹣m²+2m的最大值小于1，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論后，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：

解：（1）要使函數(shù)有意義：

則有，解得﹣3＜x＜1

∴函數(shù)的定義域D為（﹣3，1）…（2分）

（2）f（x）=log_a（1﹣x）+log_a（x+3）=log_a（1﹣x）•（x+3）=log_a[﹣（x+1）²+4]，

∵x∈（﹣3，1）

∴0＜﹣（x+1）²+4≤4

∵0＜a＜1

∴l(xiāng)og_a[﹣（x+1）²+4]≥log_a4，

f（x）的最小值為log_a4，

∴l(xiāng)og_a4=﹣4，即a=

（3）由題知﹣x²+2mx﹣m²+2m＜1在x∈（﹣3，1）上恒成立，⇔x²﹣2mx+m²﹣2m+1＞0在x∈（﹣3，1）上恒成立，…（8分）

令g（x）=x²﹣2mx+m²﹣2m+1，x∈（﹣3，1），

配方得g（x）=（x﹣m）²﹣2m+1，其對(duì)稱軸為x=m，

①當(dāng)m≤﹣3時(shí)，g（x）在（﹣3，1）為增函數(shù)，∴g（﹣3）=（﹣3﹣m）²﹣2m+1=m²+4m+10≥0，

而m²+4m+10≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)m恒成立，∴m≤﹣3．       …（10分）

②當(dāng)﹣3＜m＜1時(shí)，函數(shù)g（x）在（﹣3，﹣1）為減函數(shù)，在（﹣1，1）為增函數(shù)，

∴g（m）=﹣2m+1＞0，解得m＜．∴﹣3＜m＜…（12分）

③當(dāng)m≥1時(shí)，函數(shù)g（x）在（﹣3，1）為減函數(shù)，∴g（1）=（1﹣m）²﹣2m+1=m²﹣4m+2≥0，

解得m≥或m≤，∴﹣3＜m＜…（14分）

綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （﹣∞，）∪[，+∞）    …（15分）

點(diǎn)評(píng)：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的定義域及求法，函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．