Question

四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：PA⊥CD；
（2）求AQ與平面CDM所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結(jié)PQ、AQ．菱形ABCD中證出AQ⊥CD，結(jié)合正三角形△PCD中PQ⊥CD，可得CD⊥平面PAQ，而PA?平面PAQ，即可證出PA⊥CD．
（2）分別以QA、QC、QP所在直線為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系Q-xyz．算得、的坐標(biāo)，從而得到?=0，可得PA⊥CM．結(jié)合（1）的結(jié)論P(yáng)A⊥CD，證出PA⊥平面CDM，得就是平面CDM的法向量．因此根據(jù)空間向量的夾角公式算出＜，＞的余弦值，即可得到AQ與平面CDM所成的正弦值，從而求出AQ與平面CDM所成的角的大�。�
解答：解：（1）連結(jié)PQ、AQ．
∵△PCD為正三角形，∴PQ⊥CD．
∵底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，
∴AQ⊥CD．
∵AQ、PQ是平面PAQ內(nèi)的相交直線，
∴CD⊥平面PAQ．…（4分）
∵PA?平面PAQ，∴PA⊥CD．
（2）由（1）可知PQ⊥CD，AQ⊥CD．
又由側(cè)面PDC⊥底面ABCD，得PQ⊥AQ．
因此，分別以QA、QC、QP所在直線為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系Q-xyz．…（6分）
易知P（0，0，）、A（，0，0）、B（，2，0）、C（0，1，0）、D（0，-1，0）．…（7分）
由M（，1，-），得=（，0，-），
得?=+0+=0，可得PA⊥CM．…（10分）
∵CM、CD是平面CDM內(nèi)的相交直線，
∴PA⊥平面CDM，
從而就是平面CDM的法向量．…（12分）
設(shè)AQ與平面所成的角為α，
則sinα=|cos＜，＞|=，可得α=45°
∴AQ與平面CDM所成的角為45°．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題在特殊四棱錐中求證異面垂直，并求直線與平面所成角的大小，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、利用空間向量研究直線與平面所成角大小等知識(shí)，屬于中檔題．