Question

設函數(shù)（，）。
⑴若，求在上的最大值和最小值；
⑵若對任意，都有，求的取值范圍；
⑶若在上的最大值為，求的值。

Answer 1

（1）最大值為3，最小值為－1；（2）；（3），．

試題分析：（1）是三次函數(shù)，要求它的最大值和最小值一般利用導數(shù)來求，具體的就是令，求出，再討論相應區(qū)間的單調性，就可判斷出函數(shù)什么時候取最大值，什么時候取最小值；（2）要求的取值范圍，題中沒有其他的信息，因此我們首先判斷出的初始范圍，由已知有，得出，而此時在上的單調性不確定，通過討論單調性，求出在上的最大值和最小值，為什么要求最大值和最小值呢？原因就在于題設條件等價于最大值與最小值的差，這樣就有求出的取值范圍了；（3）對在上的最大值為的處理方法，同樣我們用特殊值法，首先，即，由這兩式可得，而特殊值，又能得到，那么只能有，把代入和，就可求出．
試題解析：（1），∴，         2分
∴在內，，在內，，
∴在內，為增函數(shù)，在內，為減函數(shù)，
∴的最大值為，最小值為，         4分
（2）∵對任意有，∴，
從而有，∴．         6分
又，∴在，內為減函數(shù)，在內為增函數(shù)，只需，則，
∴的取值范圍是          10分[
（3）由知①②，
①加②得又∵∴∴      14分
將代入①②得∴               16分