Question

設(shè)偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，且f（1）=0則不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0的解集為

 

．

Answer 1

分析：畫出函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖，由不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0可得

2f(x)

x

＞0，即x和f（x）同號，結(jié)合函數(shù)的圖象可得不等式的解集．

解答：解：由題意可得f（-1）=0，
且函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
畫出函數(shù)f（x）的單調(diào)性示意圖，如圖所示：
由不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0可得

2f(x)

x

＞0，
故當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0； 當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0，
即x和f（x）同號．
結(jié)合函數(shù)的圖象可得不等式的解集為（-∞，-1）∪（0，1），
故答案為：（-∞，-1）∪（0，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．