Question

如圖在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABB₁A₁⊥平面AA₁C₁C，∠BAA₁=90°，∠CAA₁=120°，AB=AC=AA₁=2，D是棱CC₁的中心點．
（Ⅰ）求證：AD⊥A₁B；
（Ⅱ）求二面角D-A₁B-A的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質

專題：空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質即可證明AD⊥A₁B；
（Ⅱ）求出二面角的平面角，結合三角形的邊角關系即可求二面角D-A₁B-A的正切值．

解答： 證明：（Ⅰ）平形四邊形中，AA₁C₁CAC=AA₁=2，∠CAA₁=120°，
且D是棱CC₁的中點，
∴AD=

3

，且AD⊥AA₁．
又∵平面ABB₁A₁⊥平面AA₁C₁C，平面ABB₁A₁∩平面AA₁C₁C=AA₁，
∴AD⊥平面ABB₁A₁，
又A₁B?平面ABB₁A₁，∴AD⊥A₁B
（Ⅱ）過A作AE⊥A₁B，垂足為E，連接DE．
由（Ⅰ）已得AD⊥A₁B，∴A₁B⊥平面AED，
∴∠AED為二面角D-A₁B-A的平面角．
又AE=

2

，∴在Rt△AED中，tan∠AED=

AD

AE

=

3

2

=

6

2

．
∴二面角D-A₁B-A的正切值是

6

2

．

點評：本題主要考查直線垂直的判定以及空間二面角的計算，考查學生的計算能力．