Question

7．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）若數列{$\frac{n+1}{{a}_{n}}$} 的前n 項和為T_n，求證：1≤T_n＜3．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關系與等比數列的通項公式即可得出．
（II）$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 （I）解：∵S_n=2a_n-2，∴a₁=2a₁-2，解得a₁=2，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為：a_n=2a_n-1，
∴數列{a_n}是等比數列，首項為2，公比為2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）證明：$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴數列{$\frac{n+1}{{a}_{n}}$} 的前n 項和T_n=$\frac{2}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$∈[1，3）．
∴1≤T_n＜3．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數列的通項公式與求和公式、數列的單調性、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．