Question

（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，對(duì)于b_n=（

1

n

）（a₁+a₂+…+a_n），則數(shù)列{b_n}也是等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，若{c_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{d_n}（d＞0）也是等比數(shù)列，寫出d_n的表達(dá)式，并且證明你類比得到的命題是否為真命題．（2）設(shè)x＞0，y＞0，證明不等式（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,類比推理

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用,推理和證明

分析：（1）在類比等差數(shù)列的性質(zhì)推理等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，我們一般的思路有：由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術(shù)平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等；
（2）所證不等式即：（x²+y²）³＞（x³+y³）²．只需證：x²+y²＞

2

3

xy，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）類比推斷：若數(shù)列{c_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)d_n=

n	c1c2…cn

時(shí)，數(shù)列{d_n}也是等比數(shù)列．
{c_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則c_n=c₁q^n-1，
∴d_n=

n	c1c2…cn

=

n	(c1)n•q (n-1)n 2

=c₁q

n-1

2

，
∴數(shù)列{d_n}也是等比數(shù)列．
（2）所證不等式即：（x²+y²）³＞（x³+y³）²．
即：x⁶+y⁶+3x²y²（x²+y²）＞x⁶+y⁶+2x³y³，
即：3x²y²（x²+y²）＞2x³y³，
只需證：x²+y²＞

2

3

xy，
∵x²+y²≥2xy＞

2

3

xy成立
∴（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理、不等式的證明，其中（1）類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）；（2）考查的知識(shí)點(diǎn)是分析法證明．