Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+ax-3a²lnx，（a＞0）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（2x+3a）（x-a）}{x}$，（x＞0），
令f′（x）=0，解得：x₁=a，x₂=-$\frac{3a}{2}$（舍），
x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

∴f（x）的遞增區(qū)間是（a，+∞），遞減區(qū)間是（0，a）；
（2）由（1）得：當(dāng)0＜a≤1時，f（x）在[1，e]遞增，f（x）_min=f（1）=1+a，
1＜a＜e時，f（x）在[1，a]遞減，在[a，e]遞增，f（x）_min=f（a）=2a²-3a²lna，
a≥e時，f（x）在[1，e]遞減，f（x）_min=f（e）=e²+ae-3a²．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．