Question

已知f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)，曲線y=f（x）過點（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若曲線y=g（x）有斜率為0的切線，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若當(dāng)x=-1時函數(shù)y=g（x）取得極值，確定y=g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用偶函數(shù)的定義可得b=0，利用函數(shù)過點（2，5），可得c=1，進而得到解析式；
（Ⅱ）先求函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x），再將曲線y=g（x）有斜率為0的切線問題轉(zhuǎn)化為g′（0）=0有實數(shù)解問題，最后利用一元二次方程根的性質(zhì)求得a的范圍即可；
（Ⅲ）先利用已知極值點計算a的值，進而解不等式g′（x）＞0得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，g′（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再由極值定義計算函數(shù)的極大值和極小值即可

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)，
故f（-x）=f（x），
即有（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c 解得b=0
又曲線y=f（x）過點（2，5），
得2²+c=5，有c=1
∴b=0，c=1
（Ⅱ）∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a．從而g′（x）=3x²+2ax+1，
∵曲線y=g（x）有斜率為0的切線，故有g(shù)′（x）=0有實數(shù)解．
即3x²+2ax+1=0有實數(shù)解．
此時有△=4a²-12≥0解得 a∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）   
所以實數(shù)a的取值范圍：a∈（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）
（Ⅲ）∵x=-1時函數(shù)y=g（x）取得極值，
故有g(shù)′（-1）=0即3-2a+1=0，解得a=2，
∴g（x）=x³+2x²+x+2．
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x₁=-1，x₂=-

1

3

當(dāng)x∈（-∞，-1）時，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)
當(dāng)x∈（-1，-

1

3

）時，g′（x）＜0，故g（x）在（-1，-

1

3

）上為減函數(shù)
當(dāng)x∈（-

1

3

，+∞）時，g′（x）＞0，故g（x）在（-

1

3

，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．