Question

已知f(x)=,n∈N*,試比較f()與的大小,并且說明理由.

 

Answer 1

見解析

【解析】f()==

=1-,

而=1-,

∴f()與的大小等價(jià)于2n與n2的大小.

當(dāng)n=1時(shí),21>12;當(dāng)n=2時(shí),22=22;

當(dāng)n=3時(shí),23<32;當(dāng)n=4時(shí),24=42;

當(dāng)n=5時(shí),25>52.猜想當(dāng)n≥5時(shí),2n>n2.

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)n=5時(shí),由上可知不等式成立;

②假設(shè)n=k(k≥5,k∈N*)時(shí),

不等式成立,即2k>k2,

則當(dāng)n=k+1時(shí),2k+1=2·2k>2k2,

又∵2k2-(k+1)2=(k-1)2-2>0(∵k≥5),即2k+1>(k+1)2,

∴n=k+1時(shí),不等式成立.

綜合①②對n≥5,n∈N*不等式2n>n2成立.

∴當(dāng)n=1或n≥5時(shí),f()>;

當(dāng)n=3時(shí),f()<;

當(dāng)n=2或4時(shí),f()=.