Question

3．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l過點(diǎn)P（1，0），傾斜角α=$\frac{π}{6}$
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）將曲線C上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$（橫坐標(biāo)不變）得到曲線C′，直線l與曲線C′相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系：x²+y²=ρ²，可得曲線C的方程；由直線的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α為傾斜角），可得直線的參數(shù)方程；
（Ⅱ）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{x=x′}\\{y=2y′}\end{array}\right.$代入C得曲線C′的方程，將直線l的參數(shù)方程代入C′的方程，整理后運(yùn)用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，可得|AB|=|t₁-t₂|，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2得ρ²=4，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程：x²+y²=4；
直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）；
（Ⅱ）由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=x′}\\{y=2y′}\end{array}\right.$代入C得：x′²+4y′²=4，
∴曲線C′的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
將直線l的參數(shù)方程代入C′的方程且整理得：$\frac{7}{4}$t²+$\sqrt{3}$t-3=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-\frac{4\sqrt{3}}{7}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-\frac{12}{7}}\end{array}\right.$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{48}{49}+\frac{48}{7}}$=$\frac{8\sqrt{6}}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，直線的參數(shù)方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．