Question

某同學(xué)對(duì)函數(shù)f（x）=xcosx進(jìn)行研究后，得出以下結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形；
②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|f（x）|≤|x|恒成立；
③函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，且任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等；
⑤當(dāng)常數(shù)k滿足|k|＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）圖象與直線y=kx有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
正確的命題的序號(hào)有

①②③⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得到函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形，故①正確；根據(jù)余弦函數(shù)的值域，結(jié)合不等式的性質(zhì)，可以證出②正確；根據(jù)余弦函數(shù)的周期性，結(jié)合方程根的討論可得③正確而④不正確；最后根據(jù)余弦函數(shù)的值域，結(jié)合方程根的討論，可得⑤正確．

解答：解：對(duì)于①，因?yàn)閒（-x）=-xcosx=-f（x），得函數(shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是中心對(duì)稱圖形，故①正確；
對(duì)于②，因?yàn)閏osx∈[-1，1]，所以f（x）=xcosx≤|x|對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，故②正確；
對(duì)于③，令f（x）=xcosx=x，得x=2kπ（k∈Z），可得f（x）的圖象與y=x有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，
且任意相鄰兩點(diǎn)的距離等于2π，故③正確；
對(duì)于④，令f（x）=xcosx=0，得x=0或x=

π

2

+kπ（k∈Z），可得f（x）的圖象雖與x軸有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，
但相鄰交點(diǎn)的距離可能不相等，故④不正確；
對(duì)于⑤，令f（x）=kx，可得x=0或cosx=k，因?yàn)閨k|＞1＞|cosx|，故方程cosx=k無實(shí)根，
故函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)（0，0），故⑤正確．
故答案為：①②③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的函數(shù)表達(dá)式，要求我們討論函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查了余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、方程根的討論和函數(shù)的奇偶性等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．