Question

已知橢圓的兩個焦點分別是F1(0，-2

2

)，F2(0，2

2

)，離心率e=

2 2

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）一條不與坐標(biāo)軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，且線段MN中點的橫坐標(biāo)為-

1

2

，求直線l的傾斜角的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)焦距，求得a和b的關(guān)系，利用離心率求得a和b的另一公式聯(lián)立求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓的方程聯(lián)立消去y，利用判別式大于0大于k和b的不等式關(guān)系，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根據(jù)MN的中點的橫坐標(biāo)求得k和b的關(guān)系，進而求得b的范圍，分別看b≥3和b≤-3兩種情況，求得k的范圍，則直線的傾斜角的范圍可得．

解答：解：（1）依題意可知

a2-b2=8 a2-b2 a2 = 8 9

求得a=3，b=1
∴橢圓的方程為：

y2

9

+ x2=1
（2）直線l不與坐標(biāo)軸平行，設(shè)為y=kx+b（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立方程：

y=kx+b y2 9 +x2=1

則（9+k²）x²+2kbx+b²-9=0
△=（2kb）²-4（9+k²）（b²-9）＞0，k²-b²+9＞0
x₁+x₂=-

2kb

9+k2

，x₁x₂=

b2-9

9+k2

MN的中點的橫坐標(biāo)=

1

2

（x₁+x₂）=-

1

2

所以x₁+x₂=-1，可得所以9+k²=2kb，
整理得（k-b）²=b²-9≥0，故b²≥9，解得b≥3或b≤-3
又b（b-2k）＜0
所以b≥3時，b-2k＜0，k＞

b

2

≥

3

2

b≤-3＜0時，b-2k＞0，k＜

b

2

≤-

3

2

所以k的取值范圍為（-∞，-

3

2

）∪（

3

2

，+∞）
直線l的傾斜角的取值范圍為：（arctan

3

2

，

π

2

）∪（

π

2

，π-arctan

3

2

）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，通常有兩種方法：一是轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數(shù)、與交點坐標(biāo)有關(guān)的問題）轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問題；二是運用數(shù)形結(jié)合，迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關(guān)系．