Question

一個幾何體的三視圖如圖所示．
（Ⅰ）畫出這個幾何體的直觀圖（不要求寫畫法）；
（Ⅱ）求這個幾何體的表面積；
（Ⅲ）設(shè)異面直線AA'與BC'所成的角為θ，求cosθ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)幾何體的三視圖判斷該幾何體的形狀，就可畫出直觀圖．
（Ⅱ）由幾何體的三視圖可判斷這個幾何體是直三棱柱，所以體積是底面積乘高．根據(jù)三視圖中所給數(shù)據(jù)，就可求出底面三角形的面積和高，進(jìn)而求出體積．
（Ⅲ）因?yàn)锳A'∥BB'，所以AA'與BC'所成的角是∠B'BC'，然后在三角形BB'C'中計算此角的余弦值即可

解答：解：（Ⅰ）這個幾何體的直觀圖如圖所示
（Ⅱ）這個幾何體是直三棱柱．
由于底面△ABC的高為1，所以AC=BC=

12+12

=

2

，
BB′=CC′=AA′=3
故所求全面積S=2S_△ABC+2S_BB'C'C+S_ABB′A′=2×

1

2

×2×1+3×2+2×3×

2

=8+6

2

（cm²）
（Ⅲ）因?yàn)锳A'∥BB'，所以AA'與BC'所成的角是∠B'BC'．
在Rt△BB'C'中，BC′=

BB′2+B′C′2

=

32+22

=

13

，
故cosθ=

BB′

BC′

=

3

13

=

3

13

13

點(diǎn)評：本題考察了三視圖、直觀圖的特點(diǎn)及其畫法，直三棱柱體積的計算，空間線線角的求法，需要有較強(qiáng)的空間想象力