Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，g（x）=2x+b，對任意的x∈R，恒有g(shù)（x）≤f（x）．
（1）證明：c≥1；
（2）若b＞0，不等式m（c²-b²）≥f（c）-f（b）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）證明，由已知，對任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，即x²+（b-2）x+（c-b）≥0恒成立，
所以△=（b-2）²-4（c-b）≤0，c≥

b2+4

4

≥1
（2）c≥

b2+4

4

≥2

b2 4 ×1

=b，
①當(dāng)c=b時，c²-b²=0，f（c）-f（b）=0，m∈R
②當(dāng)c＞b時，有m≥

f(c)-f(b)=

c2-b2

=

c2-b2+bc-b2

c2-b2

=

c+2b

b+c

，令t=

b

c

，則0＜t＜1

c+2b

b+c

=

1+2• b c

b c +1

=

1+2t

t+1

=2-

1

1+t

，而函數(shù)h（t）=2-

1

1+t

（0＜t＜1）是增函數(shù)，
所以函數(shù)h（t）的值域為（1，

3

2

），則m的取值范圍是[

3

2

，+∞）
綜上所述，m的取值范圍是[

3

2

，+∞）．