Question

如圖所示，設鐵路AB=50，B、C之間距離為10，現將貨物從A運往C，已知單位距離鐵路費用為2，公路費用為4，問在AB上何處修筑公路至C，可使運費由A到C最省？

Answer 1

分析：由已知，我們可計算出公路上的運費和鐵路上的運費，進而得到由A到C的總運費，
利用導數法，我們可以分析出函數的單調性，及函數的最小值點，得到答案．

解答：解：設M為AB上的一點，且MB=x，于是AM上的運費為2（50-x），MC上的運費為4

102+x2

，
則由A到C的總運費為
p（x）=2（50-x）+4

100+x2

（0≤x≤50）．
p′（x）=-2+

4x

100+x2

，
令p′（x）=0，解得x₁=

10

3

，x₂=-

10

3

（舍去）．
當x＜

10

3

時，p′（x）＜0；當x＞

10

3

時，p′（x）＞0，
故當x=

10

3

時，p（x）取得最小值．
即在離點B距離為

10 3

3

的點M處修筑公路至C時，貨物運費最省．

點評：本題考查的知識點是導數在最大值最小值問題中的應用，函數最值的應用，其中根據已知條件求出函數的解析式，并確定函數的單調性是解答本題的關鍵．