Question

P是圓O：x²+y²=4上的動點，過P作x軸的垂線，垂足為Q，若PQ中點M的軌跡記為Γ．
（1）求Γ的方程；
（2）若直線l：y=kx+3與曲線Γ相切，求直線l被圓O截得的弦長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)M（x，y）是軌跡Γ上一點，對應(yīng)的圓O上的點為P（x₀，y₀），利用相關(guān)點法能求出曲線Γ方程．
（2）由

x2 4 +y2=1 y=kx+3

，得（1+4k²）x²+24kx+32=0，由此利用分類討論思想能求出直線l被圓O截得的弦長．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y）是軌跡Γ上任意一點，
對應(yīng)的圓O上的點為P（x₀，y₀）…（1分），
則x02+y02=4…（2分），且

x=x0 y= y0 2

，即

x0=x y0=2y

，…（4分），
∴x 2+(2y)2=4…（5分），
即

x2

4

+y2=1，
∴曲線Γ方程為

x2

4

+y2=1…（6分）．
（2）由

x2 4 +y2=1 y=kx+3

…（7分），
得（1+4k²）x²+24kx+32=0…（8分）
∵直線l與曲線Γ相切，
∴△=（24k）²-4（1+4k²）•32=0…（9分）  
解得k²=2，則k=±

2

…（10分）
當k=

2

時，直線l：y=

2

x+3，
此時圓O的圓心到直線l的距離d=

3

2+1

=

3

…（12分），
直線l被圓O截得的弦長為2

4-3

=2…（13分）
當k=-

2

時，根據(jù)橢圓和圓的對稱性知，直線l被圓O截得的弦長為2．…（14分）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線被圓截得的弦長的求法，是中檔題，解題時要注意分類討論思想的合理運用．