Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若當(dāng)x∈[

1

e

-1，e-1]時(shí)，不等式f （x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞）．（1分）
∵f/(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，
由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0．（3分）
∴f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞），遞減區(qū)間是（-1，0）．（4分）
（Ⅱ）∵由f/(x)=

2x(x+2)

x+1

=0，得x=0，x=-2（舍去）
由（Ⅰ）知f（x）在[

1

e

-1，0]上遞減，在[0，e-1]上遞增．
高三數(shù)學(xué)（理科）答案第3頁(yè)（共6頁(yè)）
又f(

1

e

-1)=

1

e2

+2，f（e-1）=e²-2，且e2-2＞

1

e2

+2．
∴當(dāng)x∈[

1

e

-1，e-1]時(shí)，f（x）的最大值為e²-2．
故當(dāng)m＞e²-2時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立．（9分）
（Ⅲ）方程f（x）=x²+x+a，x-a+1-2ln（1+x）=0．
記g（x）=x-a+1-2ln（1+x），
∵g/(x)=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，
由g′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）．由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增．
為使方程f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，
只須g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，于是有

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0.

∵2-2ln2＜3-2ln3，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是2-2ln2＜a≤3-2ln3．（14分）